Wydarzenia wzajemnie wykluczające się i niezależne
Ludzie często mylą koncepcję wydarzeń wzajemnie wykluczających się z wydarzeniami niezależnymi. W rzeczywistości są to dwie różne rzeczy.
Niech A i B będą dowolnymi dwoma zdarzeniami związanymi z losowym eksperymentem E. P (A) nazywa się „prawdopodobieństwem A”. Podobnie możemy zdefiniować prawdopodobieństwo B jako P (B), prawdopodobieństwo A lub B jako P (A∪B), a prawdopodobieństwo A i B jako P (A∩B). Wtedy P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Jednak dwa zdarzenia, o których mówi się, że wzajemnie się wykluczają, jeżeli wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na drugie. Innymi słowy, nie mogą wystąpić jednocześnie. Dlatego też, jeśli dwa zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to A∩B = ∅ i stąd implikuje to P (A∪B) = P (A) + P (B).
Niech A i B będą dwoma zdarzeniami w przestrzeni próbkowania S. Warunkowe prawdopodobieństwo A, zakładając, że wystąpiło B, jest oznaczone przez P (A | B) i jest zdefiniowane jako; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod warunkiem, że P (B)> 0. (w przeciwnym razie nie jest zdefiniowane).
O zdarzeniu A mówi się, że jest niezależne od zdarzenia B, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia A nie zależy od tego, czy wystąpiło B, czy nie. Innymi słowy, wynik zdarzenia B nie ma wpływu na wynik zdarzenia A. Dlatego P (A | B) = P (A). Podobnie, B jest niezależne od A, jeśli P (B) = P (B | A). Stąd możemy wywnioskować, że jeśli A i B są niezależnymi zdarzeniami, to P (A∩B) = P (A). P (B)
Załóżmy, że wyrzucono ponumerowaną kostkę i rzucono uczciwą monetą. Niech A będzie zdarzeniem, w którym zdobycie głowy, a B będzie zdarzeniem, które wyrzuca parzystą liczbę. Następnie możemy wywnioskować, że zdarzenia A i B są niezależne, ponieważ ten wynik jednego nie wpływa na wynik drugiego. Dlatego P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Ponieważ P (A∩B) ≠ 0, A i B nie mogą się wzajemnie wykluczać.
Załóżmy, że urna zawiera 7 białych i 8 czarnych kulek. Zdefiniuj zdarzenie A jako rysowanie białej kulki, a zdarzenie B jako rysowanie czarnej kulki. Zakładając, że każda kulka zostanie wymieniona po zanotowaniu jej koloru, wtedy P (A) i P (B) będą zawsze takie same, bez względu na to, ile razy pobieramy z urny. Zastąpienie kulek oznacza, że prawdopodobieństwa nie zmieniają się od losowania do losowania, bez względu na to, jaki kolor wybraliśmy w ostatnim losowaniu. Dlatego zdarzenia A i B są niezależne.
Jeśli jednak kulki zostały narysowane bez wymiany, wszystko się zmienia. Przy tym założeniu zdarzenia A i B nie są niezależne. Rysowanie białego marmuru za pierwszym razem zmienia prawdopodobieństwo rysowania czarnego marmuru przy drugim losowaniu i tak dalej. Innymi słowy, każde losowanie ma wpływ na następne losowanie, więc poszczególne losowania nie są niezależne.
Różnica między wzajemnie wykluczającymi się a niezależnymi wydarzeniami
- Wzajemna wyłączność wydarzeń oznacza, że nie ma nakładania się między zestawami A i B. Niezależność wydarzeń oznacza, że wydarzenie A nie wpływa na wydarzenie B.
- Jeśli dwa zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to P (A∩B) = 0.
- Jeśli dwa zdarzenia A i B są niezależne, to P (A∩B) = P (A). P (B)
