Zdarzenia zależne a niezależne
W naszym codziennym życiu napotykamy wydarzenia z niepewnością. Na przykład szansa wygrania kupionej loterii lub szansa na zdobycie pracy, o którą się ubiegałeś. Podstawowa teoria prawdopodobieństwa służy do matematycznego określenia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest zawsze związane z przypadkowymi eksperymentami. Mówi się, że eksperyment z kilkoma możliwymi wynikami jest eksperymentem losowym, jeśli wyniku w jakimkolwiek pojedynczym badaniu nie można przewidzieć z góry. Zdarzenia zależne i niezależne to terminy używane w teorii prawdopodobieństwa.
Mówi się, że zdarzenie B jest niezależne od zdarzenia A, jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia B nie zależy od tego, czy wystąpiło A, czy nie. Po prostu dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wynik jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia. Innymi słowy, B jest niezależne od A, jeśli P (B) = P (B | A). Podobnie, A jest niezależne od B, jeśli P (A) = P (A | B). Tutaj P (A | B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe A, zakładając, że wydarzyło się B. Jeśli rozważymy rzut dwoma kośćmi, liczba pojawiająca się na jednej kości nie ma wpływu na wynik na drugiej kości.
Dla dowolnych dwóch zdarzeń A i B w przestrzeni próbnej S; warunkowe prawdopodobieństwo A, przy założeniu, że wystąpiło B, wynosi P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Zatem jeśli zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B, to P (A) = P (A | B) implikuje, że P (A∩B) = P (A) x P (B). Podobnie, jeśli P (B) = P (B | A), to P (A∩B) = P (A) x P (B) zachodzi. Stąd możemy wywnioskować, że dwa zdarzenia A i B są niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek P (A∩B) = P (A) x P (B).
Załóżmy, że jednocześnie rzucamy kostką i monetą. Wtedy zbiór wszystkich możliwych wyników lub przestrzeń próbkowania to S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Niech zdarzenie A będzie zdarzeniem zdobycia orłów, wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A, P (A) wynosi 6/12 lub 1/2 i niech B będzie zdarzeniem uzyskania wielokrotności trzech na kostce. Wtedy P (B) = 4/12 = 1/3. Żadne z tych dwóch zdarzeń nie ma wpływu na wystąpienie drugiego zdarzenia. Stąd te dwa wydarzenia są niezależne. Ponieważ zestaw (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, prawdopodobieństwo uzyskania przez zdarzenie orłów i wielokrotności trzech na kości, czyli P (A∩B) wynosi 2/12 lub 1/6. Mnożenie P (A) x P (B) jest również równe 1/6. Ponieważ dwa zdarzenia A i B spełniają warunek, możemy powiedzieć, że A i B są zdarzeniami niezależnymi.
Jeśli na wynik zdarzenia ma wpływ wynik innego zdarzenia, mówi się, że zdarzenie jest zależne.
Załóżmy, że mamy worek zawierający 3 czerwone kule, 2 białe i 2 zielone kule. Prawdopodobieństwo losowego wylosowania białej bili wynosi 2/7. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania zielonej piłki? Czy to 2/7?
Gdybyśmy wyciągnęli drugą piłkę po wymianie pierwszej, to prawdopodobieństwo wyniesie 2/7. Jeśli jednak nie wymienimy pierwszej wyjętej przez nas kulki, to w woreczku mamy tylko sześć piłek, więc prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kulki wynosi teraz 2/6 lub 1/3. Dlatego drugie zdarzenie jest zależne, ponieważ pierwsze zdarzenie ma wpływ na drugie zdarzenie.
Jaka jest różnica między zdarzeniem zależnym a zdarzeniem niezależnym?
