Całki oznaczone a nieoznaczone
Rachunek różniczkowy jest ważną gałęzią matematyki, a różniczkowanie odgrywa kluczową rolę w rachunku różniczkowym. Odwrotny proces różniczkowania jest znany jako całkowanie, a odwrotność jest znana jako całka, lub po prostu odwrotność różniczkowania daje całkę. Na podstawie otrzymanych wyników całki dzielą się na dwie klasy; całki określone i nieoznaczone.
Więcej o całkach nieoznaczonych
Całka nieoznaczona jest bardziej ogólną formą całkowania i może być interpretowana jako anty-pochodna rozważanej funkcji. Załóżmy, że różniczkowanie F daje f, a całkowanie f daje całkę. Często jest zapisywany jako F (x) = ∫ƒ (x) dx lub F = ∫ƒ dx, gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalne. W powyższej postaci nazywa się to całką Reimanna, a wynikająca z niej funkcja towarzyszy dowolnej stałej. Całka nieoznaczona często tworzy rodzinę funkcji; dlatego całka jest nieokreślona.
Całki i proces całkowania leżą u podstaw rozwiązywania równań różniczkowych. Jednak w przeciwieństwie do różnicowania, integracja nie zawsze przebiega według jasnej i standardowej procedury; czasami rozwiązania nie można wyrazić wprost w kategoriach funkcji elementarnej. W takim przypadku rozwiązanie analityczne często podaje się w postaci całki nieoznaczonej.
Więcej o całkach oznaczonych
Całki oznaczone są cenionymi odpowiednikami całek nieoznaczonych, w przypadku których proces całkowania w rzeczywistości daje liczbę skończoną. Można go graficznie zdefiniować jako obszar ograniczony krzywą funkcji ƒ w danym przedziale. Ilekroć całkowanie jest wykonywane w danym przedziale zmiennej niezależnej, całkowanie daje określoną wartość, która jest często zapisywana jako a ∫ b ƒ (x) dx lub a ∫ b ƒdx.
Całki nieoznaczone i całki oznaczone są ze sobą powiązane poprzez pierwsze podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, co pozwala na obliczenie całki oznaczonej przy użyciu całek nieoznaczonych. Twierdzenie stwierdza, że a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a), gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Biorąc pod uwagę przedział, a i b są znane jako odpowiednio dolna granica i górna granica.
Zamiast zatrzymywać się tylko na funkcjach rzeczywistych, całkowanie można rozszerzyć na funkcje złożone, a całki te nazywane są całkami konturowymi, gdzie ƒ jest funkcją zmiennej zespolonej.
Jaka jest różnica między całkami oznaczonymi i nieoznaczonymi?
Całki nieoznaczone reprezentują anty-pochodną funkcji, a często raczej rodzinę funkcji niż określone rozwiązanie. W całkach oznaczonych całkowanie daje liczbę skończoną.
Całki nieoznaczone wiążą dowolną zmienną (stąd rodzina funkcji), a całki oznaczone nie mają arbitralnej stałej, ale górną i dolną granicę całkowania.
Całka nieoznaczona zwykle daje ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.
