Hiperbola a elipsa
Kiedy stożek jest cięty pod różnymi kątami, różne krzywe są zaznaczane przez krawędź stożka. Te krzywe są często nazywane przekrojami stożkowymi. Dokładniej, przekrój stożkowy to krzywa otrzymana przez przecięcie prawej kołowej powierzchni stożkowej z płaską powierzchnią. Pod różnymi kątami przecięcia podano różne przekroje stożkowe.
Zarówno hiperbola, jak i elipsa są przekrojami stożkowymi i w tym kontekście ich różnice można łatwo porównać.
Więcej o Ellipse
Gdy przecięcie powierzchni stożkowej i płaskiej tworzy zamkniętą krzywą, nazywa się to elipsą. Ma ekscentryczność od zera do jedynki (0
Odcinek linii przechodzący przez ogniska jest znany jako główna oś, a oś prostopadła do większej osi i przechodząca przez środek elipsy jest nazywana mniejszą osią. Średnice wzdłuż każdej osi nazywane są odpowiednio średnicą poprzeczną i średnicą koniugatu. Połowa większej osi jest znana jako półoś wielka, a połowa małej osi jest znana jako półoś mała.
Każdy punkt F 1 i F 2 jest znany jako ognisko elipsy i ma długości F 1 + PF 2 = 2a, gdzie P jest dowolnym punktem na elipsie. Mimośrodowość e definiuje się jako stosunek między odległością od ogniska do dowolnego punktu (PF 2) a odległością prostopadłą do dowolnego punktu od kierownicy (PD). Jest również równa odległości między dwoma ogniskami i półosiową dużą: e = PF / PD = f / a
Ogólne równanie elipsy, gdy półoś wielka i półosiowa są zbieżne z osiami kartezjańskimi, podano w następujący sposób.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Geometria elipsy ma wiele zastosowań, zwłaszcza w fizyce. Orbity planet w Układzie Słonecznym są eliptyczne, a Słońce stanowi jedno ognisko. Odbłyśniki do anten i urządzeń akustycznych są wykonane w kształcie elipsy, aby wykorzystać fakt, że każda emisja z ogniska zbiegnie się w drugim ognisku.
Więcej o Hyperbola
Hiperbola jest również przekrojem stożkowym, ale ma otwarty koniec. Termin hiperbola odnosi się do dwóch odłączonych krzywych pokazanych na rysunku. Zamiast zamykać się jak elipsa, ramiona lub gałęzie hiperboli ciągną się w nieskończoność.
Punkty, w których dwie gałęzie mają najmniejszą odległość między nimi, nazywane są wierzchołkami. Linia przechodząca przez wierzchołki jest uważana za główną oś lub oś poprzeczną i jest jedną z głównych osi hiperboli. Dwa ogniska paraboli również leżą na głównej osi. Środek linii między dwoma wierzchołkami jest środkiem, a długość odcinka to półosi wielka. Prostopadła dwusieczna półosi wielkiej jest drugą główną osią, a dwie krzywe hiperboli są symetryczne wokół tej osi. Ekscentryczność paraboli jest większa niż jeden; e> 1.
Jeśli główne osie pokrywają się z osiami kartezjańskimi, ogólne równanie hiperboli ma postać:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, gdzie a jest półosiową dużą, a b jest odległością od środka do dowolnego ogniska.
Hiperbola z otwartymi końcami skierowanymi do osi X nazywane są hiperbolami wschód-zachód. Podobne hiperboli można uzyskać również na osi y. Są one znane jako hiperbola osi y. Równanie dla takich hiperbol ma postać
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Jaka jest różnica między Hyperbolą a Ellipse?
• Zarówno elipsy, jak i hiperbola są przekrojami stożkowymi, ale elipsa jest krzywą zamkniętą, podczas gdy hiperbola składa się z dwóch krzywych otwartych.
• Dlatego elipsa ma skończony obwód, ale hiperbola ma nieskończoną długość.
• Obie są symetryczne wokół swojej osi większej i mniejszej, ale położenie kierownicy jest różne w każdym przypadku. W elipsie leży poza półosiową dużą, podczas gdy w hiperboli leży w półosi wielkiej.
• Mimośrody dwóch przekrojów stożkowych są różne.
0
e Hiperbola > 0
• Ogólne równanie dwóch krzywych wygląda tak samo, ale są różne.
• Prostopadła dwusieczna wielkiej osi przecina krzywą w elipsie, ale nie w hiperboli.
(Źródło zdjęć: Wikipedia)
