Równoległobok a prostokąt
Równoległobok i prostokąt to czworoboki. Geometria tych figur była znana człowiekowi od tysięcy lat. Temat ten jest wyraźnie poruszony w książce „Elements”, napisanej przez greckiego matematyka Euclida.
Równoległobok
Równoległobok można zdefiniować jako figurę geometryczną z czterema bokami, z przeciwległymi bokami równoległymi do siebie. Dokładniej jest to czworokąt z dwiema parami równoległych boków. Ta równoległość nadaje równoległobokom wiele cech geometrycznych.
Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli stwierdza się następujące cechy geometryczne.
• Dwie pary przeciwległych boków mają jednakową długość. (AB = DC, AD = BC)
• Dwie pary przeciwległych kątów mają taką samą wielkość. (
)
• Jeśli sąsiednie kąty są uzupełniające
• Para boków, które są przeciwstawne, jest równoległa i ma taką samą długość. (AB = DC i AB∥DC)
• Przekątne przecinają się na pół (AO = OC, BO = OD)
• Każda przekątna dzieli czworokąt na dwa przystające trójkąty. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ponadto suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnych. Jest to czasami nazywane prawem równoległoboku i ma szerokie zastosowanie w fizyce i inżynierii. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Każda z powyższych cech może być użyta jako własność po ustaleniu, że czworokąt jest równoległobokiem.
Pole powierzchni równoległoboku można obliczyć iloczynem długości jednego boku i wysokości przeciwnej strony. Dlatego pole powierzchni równoległoboku można określić jako
Powierzchnia równoległoboku = podstawa × wysokość = AB × h
Powierzchnia równoległoboku jest niezależna od kształtu pojedynczego równoległoboku. Zależy tylko od długości podstawy i prostopadłej wysokości.
Jeśli boki równoległoboku można przedstawić za pomocą dwóch wektorów, pole powierzchni można otrzymać na podstawie wielkości iloczynu wektorowego (iloczynu poprzecznego) dwóch sąsiednich wektorów.
Jeśli boki AB i AD są reprezentowane odpowiednio przez wektory (
) i (
), pole równoległoboku jest określone wzorem
gdzie α jest kątem między
i
Poniżej przedstawiono niektóre zaawansowane właściwości równoległoboku;
• Pole równoległoboku jest dwukrotnie większe od pola trójkąta utworzonego przez którąkolwiek z jego przekątnych.
• Obszar równoległoboku jest podzielony na pół przez dowolną linię przechodzącą przez środek.
• Każda niezdegenerowana transformacja afiniczna przenosi równoległobok na inny równoległobok
• Równoległobok ma symetrię obrotową rzędu 2
• Suma odległości od dowolnego wewnętrznego punktu równoległoboku do boków jest niezależna od położenia tego punktu
Prostokąt
Czworobok z czterema kątami prostymi nazywany jest prostokątem. Jest to szczególny przypadek równoległoboku, w którym kąty między dowolnymi dwoma sąsiednimi bokami są kątami prostymi.
Oprócz wszystkich właściwości równoległoboku można rozpoznać dodatkowe cechy, biorąc pod uwagę geometrię prostokąta.
• Każdy kąt na wierzchołkach jest kątem prostym.
• Przekątne mają jednakową długość i przecinają się na pół. Dlatego też podzielone na pół sekcje mają również taką samą długość.
• Długość przekątnych można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Formuła powierzchni redukuje się do iloczynu długości i szerokości.
Pole prostokąta = długość x szerokość
• W prostokącie znajduje się wiele właściwości symetrycznych, takich jak;
- Prostokąt jest cykliczny, w którym wszystkie wierzchołki można umieścić na obwodzie koła.
- Jest równokątny, gdzie wszystkie kąty są równe.
- Jest izogonalny, gdzie wszystkie rogi leżą na tej samej orbicie symetrii.
- Ma zarówno symetrię odbicia, jak i symetrię obrotową.
Jaka jest różnica między równoległobokiem a prostokątem?
• Równoległobok i prostokąt to czworoboki. Prostokąt to szczególny przypadek równoległoboków.
• Powierzchnię dowolnego można obliczyć za pomocą wzoru podstawa × wysokość.
• Biorąc pod uwagę przekątne;
- Przekątne równoległoboku przecinają się na pół i dzielą równoległobok na pół, tworząc dwa przystające trójkąty.
- Przekątne prostokąta mają taką samą długość i przecinają się na pół; sekcje podzielone na dwie części mają jednakową długość. Przekątne dzielą prostokąt na pół na dwa przystające trójkąty prostokątne.
• Uwzględnienie kątów wewnętrznych;
- Przeciwstawne wewnętrzne kąty równoległoboku mają równą wielkość. Dwa sąsiednie narożniki wewnętrzne są uzupełniające
- Wszystkie cztery kąty wewnętrzne prostokąta są kątami prostymi.
• Rozważanie stron;
- W równoległoboku suma kwadratów boków jest równa sumie kwadratów przekątnej (prawo równoległoboku)
- W prostokątach suma kwadratów dwóch sąsiednich boków jest równa kwadratowi przekątnej na końcach. (Reguła Pitagorasa)
