Liczby rzeczywiste a liczby urojone
Liczby to obiekty matematyczne używane do liczenia i mierzenia. Jego definicja zmieniała się na przestrzeni lat wraz z dodaniem zera, liczb ujemnych, wymiernych, niewymiernych i urojonych. Mimo że abstrakcyjne podstawy systemów liczbowych odnoszą się do struktur algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie i pola, przedstawiono tutaj tylko intuicyjną ideę.
Co to jest liczba rzeczywista?
Nieformalnie zdefiniowana liczba rzeczywista to liczba, której kwadrat jest nieujemny. W notacji matematycznej oznaczamy zbiór liczb rzeczywistych symbolem R. Dlatego dla wszystkich x, jeśli x ϵ R to x 2 ≥ 0. Bardziej rygorystycznie można wprowadzić zbiór liczb rzeczywistych jako unikalne, całkowicie uporządkowane pole z operacją binarną + i. wraz z relacją zamówienia <. Ta relacja porządku jest zgodna z prawem trychotomii, które stwierdza, że przy dwóch liczbach rzeczywistych x i y, jedna i tylko jedna z tych 3 jest zachowana; x> y, x <y lub x = y.
Liczba rzeczywista może być algebraiczna lub transcendentalna, w zależności od tego, czy jest pierwiastkiem równania wielomianowego ze współczynnikami całkowitymi, czy nie. Ponadto liczba rzeczywista może być wymierna lub nieracjonalna, w zależności od tego, czy można ją wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych, czy nie. Na przykład 2,5 to liczba rzeczywista, która jest algebraiczna i racjonalna, ale ᴫ jest nieracjonalna i transcendentalna.
Zbiór liczb rzeczywistych jest kompletny. Oznacza to, że dla każdego niepustego podzbioru liczb rzeczywistych, który jest ograniczony powyżej, ma najmniejszą górną granicę, iz tego można wywnioskować, że dla każdego niepustego podzbioru liczb rzeczywistych ograniczonego poniżej ma największą dolną granicę. To odróżnia zbiór liczb rzeczywistych od zbioru liczb wymiernych. Można argumentować, że zbiór liczb rzeczywistych jest tworzony przez wypełnienie luk w zbiorze niekompletnych liczb wymiernych, które są liczbami niewymiernymi.
Co to jest liczba urojona?
Liczba urojona to liczba, której kwadrat jest ujemny. Innymi słowy, liczby takie jak √ (-1), √ (-100) i √ (- e) są liczbami urojonymi. Wszystkie liczby urojone można zapisać w postaci ai, gdzie i jest „jednostką urojoną” √ (-1), a a jest niezerową liczbą rzeczywistą. (Zauważ, że i 2 = -1). Chociaż liczby te wydają się nierealne i jak sama nazwa wskazuje, nie istnieją, są one używane w wielu podstawowych zastosowaniach w świecie rzeczywistym, w takich dziedzinach jak lotnictwo, elektronika i inżynieria.
Jaka jest różnica między liczbami rzeczywistymi a urojonymi?
• Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, ale kwadrat liczby urojonej jest ujemny.
• Zbiór liczb rzeczywistych tworzy kompletne, całkowicie uporządkowane pole, podczas gdy zbiór liczb urojonych nie jest ani kompletny, ani uporządkowany.
