Transpozycja a macierz odwrotna
Transpozycja i odwrotność to dwa typy macierzy o specjalnych właściwościach, które napotykamy w algebrze macierzy. Różnią się one od siebie i nie łączą ich bliskie relacje, ponieważ operacje wykonywane w celu ich uzyskania są różne.
Mają szerokie zastosowanie w dziedzinie algebry liniowej i pochodnych implementacji, takich jak informatyka.
Więcej o macierzy transpozycji
Transpozycja macierzy A może być zidentyfikowana jako macierz otrzymana przez przestawienie kolumn na wiersze lub wiersze na kolumny. W rezultacie indeksy każdego elementu są zamieniane. Bardziej formalnie transpozycja macierzy A jest definiowana jako
gdzie
W macierzy transpozycji przekątna pozostaje niezmieniona, ale wszystkie inne elementy są obracane wokół przekątnej. Również rozmiar macierzy zmienia się od m × n do n × m.
Transpozycja ma kilka ważnych właściwości i pozwala na łatwiejsze manipulowanie macierzami. Ponadto niektóre ważne macierze transpozycji są zdefiniowane na podstawie ich cech. Jeśli macierz jest równa swojej transpozycji, to macierz jest symetryczna. Jeśli macierz jest równa swojej wartości ujemnej transpozycji, macierz jest skośna symetryczna. Koniugat transponowany macierzy jest transpozycją macierzy z elementami zastąpionymi jej złożonym koniugatem.
Więcej o Inverse Matrix
Odwrotność macierzy definiuje się jako macierz, która po pomnożeniu daje macierz identyczności. Dlatego z definicji, jeśli AB = BA = I, to B jest odwrotną macierzą A, a A jest odwrotną macierzą B. Więc jeśli rozważymy B = A -1, to AA -1 = A -1 A = I
Aby macierz była odwracalna, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, aby wyznacznik A nie był zerowy; tj. | A | = det (A) ≠ 0. O macierzy mówi się, że jest odwracalna, niejednolita lub nie-degeneracyjna, jeśli spełnia ten warunek. Wynika z tego, że A jest macierzą kwadratową i oba A -1 i A mają ten sam rozmiar.
Odwrotność macierzy A można obliczyć wieloma metodami algebry liniowej, takimi jak eliminacja Gaussa, rozkład Eigenda, rozkład Choleskiego i reguła Carmera. Macierz można również odwrócić metodą inwersji blokowej i szeregów Neumana.
Jaka jest różnica między transpozycją a odwrotną macierzą?
• Transpozycję uzyskuje się poprzez przestawienie kolumn i wierszy w macierzy, podczas gdy odwrotność uzyskuje się przez stosunkowo trudne obliczenia numeryczne. (Ale w rzeczywistości obie są transformacjami liniowymi)
• W rezultacie elementy w transpozycji zmieniają tylko swoje położenie, ale wartości są takie same. Ale odwrotnie, liczby mogą być zupełnie inne od oryginalnej macierzy.
• Każda macierz może mieć transpozycję, ale odwrotność jest definiowana tylko dla macierzy kwadratowych, a wyznacznik musi być niezerowym wyznacznikiem.
