Asocjacyjny vs przemienny
W naszym codziennym życiu musimy używać liczb, gdy potrzebujemy jakiejś miary. W sklepie spożywczym, na stacji benzynowej, a nawet w kuchni musimy dodawać, odejmować i mnożyć dwie lub więcej ilości. Zgodnie z naszą praktyką obliczenia te wykonujemy dość łatwo. Nigdy nie zauważamy ani nie pytamy, dlaczego wykonujemy te operacje w ten szczególny sposób. Albo dlaczego tych obliczeń nie można przeprowadzić w inny sposób. Odpowiedź kryje się w sposobie definiowania tych operacji w matematycznej dziedzinie algebry.
W algebrze operacja obejmująca dwie wielkości (np. Dodawanie) jest definiowana jako operacja binarna. Mówiąc dokładniej, jest to operacja pomiędzy dwoma elementami ze zbioru i te elementy nazywane są „operandem”. Wiele operacji matematycznych, w tym operacje arytmetyczne wspomniane wcześniej oraz te, które występują w teorii mnogości, algebrze liniowej i logice matematycznej, można zdefiniować jako operacje binarne.
Istnieje zestaw reguł dotyczących określonej operacji binarnej. Właściwości asocjacyjne i przemienne to dwie podstawowe właściwości operacji binarnych.
Więcej o własności przemiennej
Załóżmy, że na elementach A i B wykonywana jest jakaś operacja binarna, oznaczona symbolem ⊗. Jeśli kolejność operandów nie wpływa na wynik operacji, wówczas operacja jest przemienna. tj. jeśli A ⊗ B = B ⊗ A, to operacja jest przemienna.
Operacje arytmetyczne dodawania i mnożenia są przemienne. Kolejność liczb dodanych lub pomnożonych razem nie wpływa na ostateczną odpowiedź:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Ale w przypadku podziału zmiana kolejności daje odwrotność drugiego, a po odjęciu zmiana daje negatyw drugiego. W związku z tym, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 i 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 i 5 ÷ 4 = 1,25 [w tym przypadku A, B ≠ 1 i 0]
W rzeczywistości odejmowanie jest uważane za antyprzemienne; gdzie A - B = - (B - A).
Również łączniki logiczne, koniunkcja, dysjunkcja, implikacja i równoważność również są przemienne. Funkcje prawdy są również przemienne. Suma i przecięcie na zbiorach operacji są przemienne. Dodawanie i iloczyn skalarny wektorów są również przemienne.
Ale odejmowanie wektorów i iloczyn wektorowy nie jest przemienny (iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest anty-przemienny). Dodawanie macierzy jest przemienne, ale mnożenie i odejmowanie nie są przemienne. (Mnożenie dwóch macierzy może być przemienne w szczególnych przypadkach, takich jak mnożenie macierzy przez jej odwrotność lub macierz identyczności; ale na pewno macierze nie są przemienne, jeśli macierze nie są tej samej wielkości)
Więcej o własności skojarzonej
Mówi się, że operacja binarna jest asocjacyjna, jeśli kolejność wykonywania nie wpływa na wynik, gdy obecne są dwa lub więcej wystąpień operatora. Rozważmy elementy A, B i C oraz operację binarną ⊗. Mówi się, że operacja ⊗ jest asocjacyjna, jeśli
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Z podstawowych funkcji arytmetycznych tylko dodawanie i mnożenie są łączne.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Odejmowanie i dzielenie nie są łączone;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 i (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Logiczne łączniki rozłączenie, koniunkcja i równoważność są asocjatywne, podobnie jak suma operacji na zbiorach i przecięcie. Macierz i dodawanie wektorów są asocjacyjne. Iloczyn skalarny wektorów jest asocjacyjny, ale iloczyn wektorowy nie. Mnożenie macierzy jest łączne tylko w szczególnych okolicznościach.
Jaka jest różnica między własnością przemienną a skojarzoną?
• Zarówno własność asocjacyjna, jak i przemienna są specjalnymi właściwościami operacji binarnych i niektóre z nich spełniają, a inne nie.
• Właściwości te można zobaczyć w wielu formach operacji algebraicznych i innych operacji binarnych w matematyce, takich jak przecięcie i suma w teorii mnogości lub łączniki logiczne.
• Różnica między przemiennością i asocjacją polega na tym, że właściwość przemienna stwierdza, że kolejność elementów nie zmienia wyniku końcowego, podczas gdy właściwość asocjacyjna stwierdza, że kolejność wykonywania operacji nie wpływa na ostateczną odpowiedź.
