Podzbiór a nadzbiór
W matematyce pojęcie zbioru jest fundamentalne. Współczesne badanie teorii mnogości zostało sformalizowane pod koniec XIX wieku. Teoria mnogości jest podstawowym językiem matematyki i repozytorium podstawowych zasad współczesnej matematyki. Z drugiej strony jest to samodzielna gałąź matematyki, która jest klasyfikowana jako gałąź logiki matematycznej we współczesnej matematyce.
Zestaw to dobrze zdefiniowana kolekcja obiektów. Dobrze zdefiniowane oznacza, że istnieje mechanizm, dzięki któremu można określić, czy dany obiekt należy do określonego zbioru, czy nie. Obiekty należące do zestawu nazywane są elementami lub członkami zestawu. Zestawy są zwykle oznaczane dużymi literami, a małe litery są używane do reprezentowania elementów.
O zbiorze A mówi się, że jest podzbiorem zbioru B; wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B. Taka relacja między zbiorami jest oznaczona przez A ⊆ B. Można ją również odczytać jako „A jest zawarte w B”. O zbiorze A mówi się, że jest podzbiorem właściwym, jeśli A ⊆ B i A ≠ B, i oznaczonym przez A ⊂ B. Jeśli jest choćby jeden element w A, który nie jest członkiem B, to A nie może być podzbiorem B Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru, a sam zbiór jest podzbiorem tego samego zbioru.
Jeśli A jest podzbiorem B, to A jest zawarte w B. Oznacza to, że B zawiera A, lub innymi słowy, B jest nadzbiorem A. Piszemy A ⊇ B, aby zaznaczyć, że B jest nadzbiorem A.
Na przykład A = {1, 3} jest podzbiorem B = {1, 2, 3}, ponieważ wszystkie elementy w A zawarte w B. B jest nadzbiorem A, ponieważ B zawiera A. Niech A = {1, 2, 3} i B = {3, 4, 5}. Wtedy A∩B = {3}. Dlatego zarówno A, jak i B są nadzbiorem A∩B. Zbiór A∪B jest nadzbiorem zarówno A, jak i B, ponieważ A∪B zawiera wszystkie elementy w A i B.
Jeśli A jest nadzbiorem B, a B jest nadzbiorem C, to A jest nadzbiorem C. Każdy zbiór A jest nadzbiorem pustego zbioru, a każdy zestaw sam jest nadzbiorem tego zbioru.
„A jest podzbiorem B” czyta się również jako „A jest zawarte w B”, oznaczane przez A ⊆ B.
„B jest nadzbiorem A” jest również odczytywane jako „B zawiera się w A”, oznaczane przez A ⊇ B.
