Funkcja dyskretna a funkcja ciągła
Funkcje są jedną z najważniejszych klas obiektów matematycznych, które są szeroko stosowane w prawie wszystkich działach matematyki. Jak sugerują ich nazwy, zarówno funkcje dyskretne, jak i ciągłe są dwoma specjalnymi typami funkcji.
Funkcja to relacja między dwoma zbiorami zdefiniowanymi w taki sposób, że dla każdego elementu w pierwszym zestawie odpowiadająca mu wartość w drugim zestawie jest niepowtarzalna. Niech f będzie funkcją zdefiniowaną ze zbioru A do zbioru B. Następnie dla każdego x ϵ A symbol f (x) oznacza unikalną wartość w zbiorze B, która odpowiada x. Nazywa się to obrazem x pod f. Dlatego relacja f z A do B jest funkcją, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego xϵ A i y ϵ A; jeśli x = y, to f (x) = f (y). Zbiór A nazywany jest dziedziną funkcji f i jest to zbiór, w którym funkcja jest zdefiniowana.
Na przykład rozważmy relację f z R do R zdefiniowaną przez f (x) = x + 2 dla każdego xϵ A. Jest to funkcja, której dziedziną jest R, ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej xiy, x = y implikuje f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Ale relacja g od N do N zdefiniowana przez g (x) = a, gdzie „a” jest czynnikami pierwszymi x nie jest funkcją jak g (6) = 3, jak również g (6) = 2.
Co to jest funkcja dyskretna?
Funkcja dyskretna to funkcja, której dziedzina jest co najwyżej policzalna. Oznacza to po prostu, że można zrobić listę zawierającą wszystkie elementy domeny.
Każdy skończony zbiór jest co najwyżej policzalny. Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych są przykładami co najwyżej policzalnych zbiorów nieskończonych. Zbiór liczb rzeczywistych i zbioru liczb niewymiernych nie są co najwyżej policzalne. Oba zestawy są niepoliczalne. Oznacza to, że niemożliwe jest sporządzenie listy zawierającej wszystkie elementy tych zbiorów.
Jedną z najpowszechniejszych funkcji dyskretnych jest funkcja silnia. f: NU {0} → N rekurencyjnie zdefiniowane przez f (n) = nf (n-1) dla każdego n ≥ 1 if (0) = 1 nazywa się funkcją silni. Zwróć uwagę, że jego jednostka NU domeny {0} jest co najwyżej policzalna.
Co to jest funkcja ciągła?
Niech f będzie taką funkcją, że dla każdego k w dziedzinie f, f (x) → f (k) jako x → k. Wtedy f jest funkcją ciągłą. Oznacza to, że można dowolnie uczynić f (x) bliską f (k), czyniąc x wystarczająco blisko k dla każdego k w dziedzinie f.
Rozważmy funkcję f (x) = x + 2 na R. Można zauważyć, że jako x → k, x + 2 → k + 2, czyli f (x) → f (k). Dlatego f jest funkcją ciągłą. Teraz rozważmy g na dodatnich liczbach rzeczywistych g (x) = 1, jeśli x> 0 i g (x) = 0, jeśli x = 0. Wówczas ta funkcja nie jest funkcją ciągłą, ponieważ granica g (x) nie istnieje (a zatem nie jest równe g (0)) jako x → 0.
Jaka jest różnica między funkcją dyskretną a ciągłą?
• Funkcja dyskretna to funkcja, której dziedzina jest co najwyżej policzalna, ale nie musi tak być w przypadku funkcji ciągłych.
• Wszystkie funkcje ciągłe ƒ mają tę własność, że ƒ (x) → ƒ (k) jako x → k dla każdego x i dla każdego k w dziedzinie ƒ, ale nie jest tak w przypadku niektórych funkcji dyskretnych.
