Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa a funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia. Ten pomysł jest bardzo powszechny i często używany w codziennym życiu, kiedy oceniamy nasze możliwości, transakcje i wiele innych rzeczy. Rozszerzenie tej prostej koncepcji na większy zestaw wydarzeń jest nieco trudniejsze. Na przykład, nie możemy łatwo obliczyć szans na wygraną na loterii, ale wygodnie, raczej intuicyjnie, jest powiedzieć, że istnieje prawdopodobieństwo, że jedna osoba na sześć otrzyma szóstkę w rzucie kostką.
Kiedy liczba zdarzeń, które mogą mieć miejsce, rośnie lub liczba indywidualnych możliwości jest duża, ta dość prosta idea prawdopodobieństwa zawodzi. Dlatego przed podejściem do problemów o większej złożoności należy podać solidną definicję matematyczną.
Gdy liczba wydarzeń, które mogą mieć miejsce w jednej sytuacji jest duża, nie sposób rozpatrywać każdego zdarzenia z osobna tak, jak na przykładzie rzutu kostką. Stąd cały zbiór zdarzeń podsumowuje się wprowadzając pojęcie zmiennej losowej. Jest to zmienna, która może przyjmować wartości różnych zdarzeń w danej sytuacji (lub przestrzeni próbkowania). Daje matematyczny sens prostym zdarzeniom w sytuacji i matematyczny sposób zajęcia się zdarzeniem. Dokładniej, zmienna losowa jest funkcją wartości rzeczywistej na elementach przestrzeni próbki. Zmienne losowe mogą być dyskretne lub ciągłe. Zazwyczaj są one oznaczane dużymi literami alfabetu angielskiego.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (lub po prostu rozkład prawdopodobieństwa) to funkcja, która przypisuje wartości prawdopodobieństwa każdemu zdarzeniu; tj. zapewnia związek z prawdopodobieństwami dla wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest definiowana dla dyskretnych zmiennych losowych.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest odpowiednikiem funkcji rozkładu prawdopodobieństwa dla ciągłych zmiennych losowych, daje prawdopodobieństwo przyjęcia określonej zmiennej losowej przez określoną wartość.
Jeśli X jest dyskretną zmienną losową, funkcja podana jako f (x) = P (X = x) dla każdego x w zakresie X nazywana jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa. Funkcja może służyć jako funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja spełnia następujące warunki.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkcja f (x), która jest zdefiniowana na zbiorze liczb rzeczywistych, nazywana jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, wtedy i tylko wtedy, gdy,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx dla dowolnych stałych rzeczywistych a i b.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa powinna również spełniać następujące warunki.
1. f (x) ≥ 0 dla wszystkich x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Zarówno funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, jak i funkcja gęstości prawdopodobieństwa są używane do reprezentowania rozkładu prawdopodobieństw w przestrzeni prób. Zwykle nazywa się to rozkładami prawdopodobieństwa.
Do modelowania statystycznego wyprowadzane są standardowe funkcje gęstości prawdopodobieństwa i funkcje rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkład normalny i standardowy rozkład normalny to przykłady ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa. Rozkład dwumianowy i rozkład Poissona to przykłady dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa.
Jaka jest różnica między rozkładem prawdopodobieństwa a funkcją gęstości prawdopodobieństwa?
• Dystrybucja prawdopodobieństwa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa to funkcje zdefiniowane w przestrzeni prób, w celu przypisania odpowiedniej wartości prawdopodobieństwa każdemu elementowi.
• Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa są definiowane dla dyskretnych zmiennych losowych, podczas gdy funkcje gęstości prawdopodobieństwa są definiowane dla ciągłych zmiennych losowych.
• Rozkład wartości prawdopodobieństwa (tj. Rozkłady prawdopodobieństwa) najlepiej oddają funkcja gęstości prawdopodobieństwa i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa.
• Rozkład prawdopodobieństwa można przedstawić jako wartości w tabeli, ale nie jest to możliwe w przypadku funkcji gęstości prawdopodobieństwa, ponieważ zmienna jest ciągła.
• Po wykreśleniu funkcja rozkładu prawdopodobieństwa daje wykres słupkowy, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa krzywą.
• Wysokość / długość słupków funkcji rozkładu prawdopodobieństwa musi dodać do 1, podczas gdy pole powierzchni pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa musi dodać do 1.
• W obu przypadkach wszystkie wartości funkcji muszą być nieujemne.
