Zmienne losowe a rozkład prawdopodobieństwa
Eksperymenty statystyczne to eksperymenty losowe, które można powtarzać w nieskończoność ze znanym zestawem wyników. Z takimi eksperymentami powiązane są zarówno zmienne losowe, jak i rozkłady prawdopodobieństwa. Dla każdej zmiennej losowej istnieje powiązany rozkład prawdopodobieństwa zdefiniowany przez funkcję zwaną dystrybuantą.
Co to jest zmienna losowa?
Zmienna losowa to funkcja, która przypisuje wartości liczbowe do wyników eksperymentu statystycznego. Innymi słowy, jest to funkcja zdefiniowana z przestrzeni próbnej eksperymentu statystycznego do zbioru liczb rzeczywistych.
Na przykład rozważmy losowy eksperyment polegający na dwukrotnym rzucie monetą. Możliwe wyniki to HH, HT, TH i TT (H - głowy, T - bajki). Niech zmienna X będzie liczbą głów obserwowanych w eksperymencie. Wtedy X może przyjąć wartości 0, 1 lub 2 i jest to zmienna losowa. Tutaj zmienna losowa X mapuje zbiór S = {HH, HT, TH, TT} (przestrzeń próbkowania) do zbioru {0, 1, 2} w taki sposób, że HH jest mapowane na 2, HT i TH są mapowane na 1, a TT jest mapowane na 0. W notacji funkcji można to zapisać jako X: S → R, gdzie X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 i X (TT) = 0.
Istnieją dwa typy zmiennych losowych: dyskretne i ciągłe, w związku z czym liczba możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa, jest co najwyżej policzalna lub nie. W poprzednim przykładzie zmienna losowa X jest dyskretną zmienną losową, ponieważ {0, 1, 2} jest zbiorem skończonym. Rozważmy teraz statystyczny eksperyment polegający na znalezieniu wagi uczniów w klasie. Niech Y będzie zmienną losową zdefiniowaną jako waga ucznia. Y może przyjąć dowolną rzeczywistą wartość w określonym przedziale czasu. Stąd Y jest ciągłą zmienną losową.
Co to jest rozkład prawdopodobieństwa?
Rozkład prawdopodobieństwa to funkcja opisująca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje określone wartości.
Funkcję zwaną dystrybuantą (F) można zdefiniować ze zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb rzeczywistych jako F (x) = P (X ≤ x) (prawdopodobieństwo, że X jest mniejsze lub równe x) dla każdy możliwy wynik x. Teraz dystrybuantę X w pierwszym przykładzie można zapisać jako F (a) = 0, jeśli a <0; F (a) = 0,25, jeśli 0≤a <1; F (a) = 0,75, jeśli 1≤a <2 i F (a) = 1, jeśli a≥2.
W przypadku dyskretnych zmiennych losowych można zdefiniować funkcję ze zbioru możliwych wyników do zbioru liczb rzeczywistych w taki sposób, że ƒ (x) = P (X = x) (prawdopodobieństwo, że X jest równe x) dla każdego możliwego wyniku x. Ta szczególna funkcja ƒ jest nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Teraz funkcję masy prawdopodobieństwa X w pierwszym konkretnym przykładzie można zapisać jako ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, aw innym przypadku ƒ (x) = 0. Zatem funkcja masy prawdopodobieństwa wraz z dystrybuantą będą opisywać rozkład prawdopodobieństwa X w pierwszym przykładzie.
W przypadku ciągłych zmiennych losowych funkcję zwaną funkcją gęstości prawdopodobieństwa (ƒ) można zdefiniować jako ƒ (x) = dF (x) / dx dla każdego x, gdzie F jest skumulowaną funkcją rozkładu ciągłej zmiennej losowej. Łatwo zauważyć, że funkcja ta spełnia ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wraz z dystrybuantą opisuje rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej. Na przykład rozkład normalny (który jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa) jest opisany za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Jaka jest różnica między zmiennymi losowymi a rozkładem prawdopodobieństwa?
• Zmienna losowa to funkcja, która wiąże wartości przestrzeni próbki z liczbą rzeczywistą.
• Rozkład prawdopodobieństwa to funkcja, która wiąże wartości, które zmienna losowa może przyjąć z odpowiednim prawdopodobieństwem wystąpienia.
