Współrzędne kartezjańskie a współrzędne biegunowe
W Geometrii układ współrzędnych to układ odniesienia, w którym liczby (lub współrzędne) są używane do jednoznacznego określenia położenia punktu lub innego elementu geometrycznego w przestrzeni. Układy współrzędnych pozwalają przekształcić problemy geometryczne w problem numeryczny, który stanowi podstawę geometrii analitycznej.
Kartezjański układ współrzędnych i układ współrzędnych biegunowych to dwa z powszechnych układów współrzędnych stosowanych w matematyce.
Współrzędne kartezjańskie
Kartezjański układ współrzędnych używa osi liczb rzeczywistych jako odniesienia. W jednym wymiarze oś liczbowa rozciąga się od ujemnej nieskończoności do dodatniej nieskończoności. Biorąc pod uwagę punkt 0 jako początek, można zmierzyć długość do każdego punktu. Zapewnia to unikalny sposób identyfikacji pozycji na linii za pomocą jednego numeru.
Koncepcję można rozszerzyć na dwa i trzy wymiary, w których stosuje się linie liczbowe prostopadłe do siebie. Wszystkie mają ten sam punkt 0 co początek. Linie liczbowe nazywane są osiami i często nazywane są osią X, osią Y i osią Z. Odległość do punktu wzdłuż każdej osi zaczynającej się od (0, 0, 0), nazywanej również początkiem, określanej jako krotka, nazywana jest współrzędną punktu. Ogólny punkt w tej przestrzeni można przedstawić za pomocą współrzędnej (x, y, z). W układzie płaskim, w którym są tylko dwie osie, współrzędne są podawane jako (x, y). Płaszczyzna utworzona przez osie jest znana jako płaszczyzna kartezjańska i często nazywana jest literami osi. Np. Samolot XY.
Ten punkt ogólny można wykorzystać do opisania różnych elementów geometrycznych, ograniczając punkt ogólny do zachowania się w określony sposób. Na przykład równanie x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 reprezentuje okrąg. Zamiast rysować okrąg o promieniu a, można go oznaczyć w bardziej abstrakcyjny sposób pokazany powyżej.
Współrzędne biegunowe
Współrzędne biegunowe używają systemu odniesienia różnicy do oznaczenia punktu. Układ współrzędnych biegunowych wykorzystuje jako współrzędne przeciwny do ruchu wskazówek zegara kąt od dodatniego kierunku osi x i odległość w linii prostej do punktu.
Współrzędne biegunowe można przedstawić jak powyżej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich.
Transformację między układami biegunowymi i kartezjańskimi dają następujące relacje:
r = √ (x 2 + y 2) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ
θ = tan -1 (x / y)
Jaka jest różnica między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi?
• Współrzędne kartezjańskie używają osi liczbowych jako osi i mogą być używane w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. Dlatego może przedstawiać geometrie liniowe, płaskie i bryłowe.
• Współrzędne biegunowe używają kąta i długości jako współrzędnych i mogą przedstawiać tylko geometrie liniowe i płaskie, chociaż można je przekształcić w cylindryczny układ współrzędnych, aby przedstawić geometrie bryłowe.
• Oba systemy są używane do przedstawiania liczb urojonych poprzez definiowanie urojonej osi i odgrywają istotną rolę w złożonej algebrze. Chociaż w zwykłej formie współrzędne kartezjańskie są liczbami rzeczywistymi (x, y, z), współrzędne w układzie biegunowym nie zawsze są liczbami rzeczywistymi; tzn. jeśli kąt jest podany w stopniach, współrzędne nie są rzeczywiste; jeśli kąt jest podany w radianach, współrzędne są liczbami rzeczywistymi.
