Równanie różnicowe a równanie różniczkowe
Zjawisko naturalne można opisać matematycznie za pomocą funkcji wielu niezależnych zmiennych i parametrów. Zwłaszcza, gdy są wyrażone funkcją położenia przestrzennego i czasu, skutkuje to równaniami. Funkcja może się zmieniać wraz ze zmianą niezależnych zmiennych lub parametrów. Nieskończenie mała zmiana zachodząca w funkcji, gdy jedna z jej zmiennych ulega zmianie, nazywana jest pochodną tej funkcji.
Równanie różniczkowe to dowolne równanie, które zawiera pochodne funkcji, a także samą funkcję. Prostym równaniem różniczkowym jest równanie drugiej zasady dynamiki Newtona. Jeśli obiekt o masie m porusza się z przyspieszeniem „a” i działa na niego z siłą F, to drugie prawo Newtona mówi nam, że F = ma. Tutaj znowu „a” zmienia się w czasie, możemy przepisać „a” jako; a = dv / dt; v jest prędkością. Prędkość jest funkcją czasu i przestrzeni, czyli v = ds / dt; dlatego „a” = d 2 s / dt 2.
Mając to na uwadze, możemy przepisać drugie prawo Newtona jako równanie różniczkowe;
„F” w funkcji v i t - F (v, t) = mdv / dt lub
`` F '' w funkcji s i t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Istnieją dwa rodzaje równań różniczkowych; zwykłe równanie różniczkowe, w skrócie ODE lub częściowe równanie różniczkowe, w skrócie przez PDE. Zwykłe równanie różniczkowe będzie zawierało zwykłe pochodne (pochodne tylko jednej zmiennej). Równanie różniczkowe cząstkowe będzie miało w sobie pochodne różniczkowe (pochodne więcej niż jednej zmiennej).
Np. F = md 2 s / dt 2 to ODE, natomiast α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt to PDE, ma pochodne t i x.
Równanie różnicowe jest tym samym, co równanie różniczkowe, ale patrzymy na nie w innym kontekście. W równaniach różniczkowych zmienna niezależna, taka jak czas, jest rozważana w kontekście ciągłego systemu czasu. W dyskretnym systemie czasu nazywamy tę funkcję równaniem różnicowym.
Równanie różnicowe jest funkcją różnic. Różnice w zmiennych niezależnych są trzy rodzaje; sekwencja liczb, dyskretny układ dynamiczny i funkcja iterowana.
W sekwencji liczb zmiana jest generowana rekurencyjnie przy użyciu reguły powiązania każdej liczby w sekwencji z poprzednimi liczbami w sekwencji.
Równanie różnicowe w dyskretnym układzie dynamicznym pobiera dyskretny sygnał wejściowy i generuje sygnał wyjściowy.
Równanie różnicowe jest iterowaną mapą dla iterowanej funkcji. Np. Y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))),…. To sekwencja iterowanej funkcji. F (y 0) jest pierwszą iteracją y 0. K-ta iteracja będzie oznaczona przez f k (y 0).
