Różnica Między Pochodną A Różniczką

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 08:41

Pochodna a różniczkowa

W rachunku różniczkowym pochodna i różniczka funkcji są ściśle powiązane, ale mają bardzo różne znaczenia i są używane do reprezentowania dwóch ważnych obiektów matematycznych związanych z funkcjami różniczkowalnymi.

Co to jest pochodna?

Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się jej wartość wejściowa. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybiera się określony kierunek i różnicuje funkcję w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne cząstkowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.

Pochodna funkcji o wartości wektorowej f można zdefiniować jako granicę

wszędzie tam, gdzie istnieje ona nieskończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,

Na przykład

jest wszędzie różniczkowalna, a pochodna jest równa granicy

która jest równa

. Pochodne funkcji, które

istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom

Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczona przez f ⁽¹⁾. Teraz przy użyciu tego zapisu można zdefiniować pochodne wyższego rzędu.

jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczając n- ^tą pochodną przez f ⁽ⁿ⁾ dla każdego n

definiuje n- ^tą pochodną.

Co to jest różnica?

Różniczkowanie funkcji reprezentuje zmianę funkcji w odniesieniu do zmian niezależnej zmiennej lub zmiennych. W zwykłej notacji dla danej funkcji f jednej zmiennej x, całkowita różnica w kolejności od 1 df jest dany

. Oznacza to, że dla nieskończenie małej zmiany w x (tj. Dx), nastąpi zmiana af ⁽¹⁾ (x) dx w f.

Używając limitów, można otrzymać następującą definicję. Załóżmy, że ∆ x jest zmianą x w dowolnym punkcie x, a ∆ f jest odpowiednią zmianą funkcji f. Można wykazać, że ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, gdzie ϵ jest błędem. Teraz granica ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (przy użyciu wcześniej podanej definicji pochodnej), a zatem ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. W związku z tym możliwe jest wywnioskować, że ∆ x → 0 ϵ = 0. Teraz, oznaczając ∆ x → 0 ∆ f jako df i ∆ x → 0 ∆ x jako dx, dokładna jest definicja różniczki.

Na przykład różnica funkcji

to

W przypadku funkcji dwóch lub więcej zmiennych całkowita różniczka funkcji jest definiowana jako suma różniczek w kierunkach każdej ze zmiennych niezależnych. Matematycznie można to określić jako

Jaka jest różnica między pochodną a różniczką?

• Pochodna odnosi się do tempa zmian funkcji, podczas gdy różniczka odnosi się do faktycznej zmiany funkcji, gdy zmienna niezależna podlega zmianie.

• Pochodna jest podana przez

ale różnica jest przez