Pochodna a różniczkowa
W rachunku różniczkowym pochodna i różniczka funkcji są ściśle powiązane, ale mają bardzo różne znaczenia i są używane do reprezentowania dwóch ważnych obiektów matematycznych związanych z funkcjami różniczkowalnymi.
Co to jest pochodna?
Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się jej wartość wejściowa. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybiera się określony kierunek i różnicuje funkcję w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne cząstkowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.
Pochodna funkcji o wartości wektorowej f można zdefiniować jako granicę
wszędzie tam, gdzie istnieje ona nieskończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,
Na przykład
jest wszędzie różniczkowalna, a pochodna jest równa granicy
która jest równa
. Pochodne funkcji, które
istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom
Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczona przez f (1). Teraz przy użyciu tego zapisu można zdefiniować pochodne wyższego rzędu.
jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczając n- tą pochodną przez f (n) dla każdego n
definiuje n- tą pochodną.
Co to jest różnica?
Różniczkowanie funkcji reprezentuje zmianę funkcji w odniesieniu do zmian niezależnej zmiennej lub zmiennych. W zwykłej notacji dla danej funkcji f jednej zmiennej x, całkowita różnica w kolejności od 1 df jest dany
. Oznacza to, że dla nieskończenie małej zmiany w x (tj. Dx), nastąpi zmiana af (1) (x) dx w f.
Używając limitów, można otrzymać następującą definicję. Załóżmy, że ∆ x jest zmianą x w dowolnym punkcie x, a ∆ f jest odpowiednią zmianą funkcji f. Można wykazać, że ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, gdzie ϵ jest błędem. Teraz granica ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (przy użyciu wcześniej podanej definicji pochodnej), a zatem ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. W związku z tym możliwe jest wywnioskować, że ∆ x → 0 ϵ = 0. Teraz, oznaczając ∆ x → 0 ∆ f jako df i ∆ x → 0 ∆ x jako dx, dokładna jest definicja różniczki.
Na przykład różnica funkcji
to
W przypadku funkcji dwóch lub więcej zmiennych całkowita różniczka funkcji jest definiowana jako suma różniczek w kierunkach każdej ze zmiennych niezależnych. Matematycznie można to określić jako
Jaka jest różnica między pochodną a różniczką?
• Pochodna odnosi się do tempa zmian funkcji, podczas gdy różniczka odnosi się do faktycznej zmiany funkcji, gdy zmienna niezależna podlega zmianie.
• Pochodna jest podana przez
ale różnica jest przez
