Różnicowanie a pochodna
W rachunku różniczkowym pochodna i różniczkowanie są ze sobą ściśle powiązane, ale bardzo różne i używane do reprezentowania dwóch ważnych pojęć matematycznych związanych z funkcjami.
Co to jest pochodna?
Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się jej wartość wejściowa. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybiera się określony kierunek i różnicuje funkcję w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne cząstkowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.
Pochodna funkcji o wartości wektorowej f można zdefiniować jako granicę
wszędzie tam, gdzie istnieje ona nieskończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,
Na przykład
jest wszędzie różniczkowalna, a pochodna jest równa granicy
która jest równa
. Pochodne funkcji, które
istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom
Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczona przez f (1). Teraz przy użyciu tego zapisu można zdefiniować pochodne wyższego rzędu.
jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczając n- tą pochodną przez f (n) dla każdego n
definiuje n- tą pochodną.
Co to jest zróżnicowanie?
Różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji różniczkowalnej. Operator D oznaczony przez D reprezentuje zróżnicowanie w niektórych kontekstach. Jeśli x jest zmienną niezależną, to D ≡ d / dx. Operator D jest operatorem liniowym, tj. Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji f i stałej c, następujące właściwości są zachowane.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Używając operatora D, inne reguły związane z różnicowaniem można wyrazić następująco. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 i D (mgła) = (D (f)) og) D (g).
Na przykład, gdy F (x) = x 2 sin x jest zróżnicowane względem x przy użyciu podanych reguł, odpowiedź będzie wynosić 2 x sin x + x 2 cos x.
Jaka jest różnica między różnicowaniem a pochodną?
• Pochodna odnosi się do tempa zmian funkcji
• Różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji.
