Różnica Między Różnicowaniem A Pochodną

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 08:41

Różnicowanie a pochodna

W rachunku różniczkowym pochodna i różniczkowanie są ze sobą ściśle powiązane, ale bardzo różne i używane do reprezentowania dwóch ważnych pojęć matematycznych związanych z funkcjami.

Co to jest pochodna?

Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się jej wartość wejściowa. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybiera się określony kierunek i różnicuje funkcję w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Pochodne cząstkowe to szczególny rodzaj pochodnych kierunkowych.

Pochodna funkcji o wartości wektorowej f można zdefiniować jako granicę

wszędzie tam, gdzie istnieje ona nieskończenie. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji f wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji jednowartościowej sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,

Na przykład

jest wszędzie różniczkowalna, a pochodna jest równa granicy

która jest równa

. Pochodne funkcji, które

istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom

Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji f jest oznaczona przez f ⁽¹⁾. Teraz przy użyciu tego zapisu można zdefiniować pochodne wyższego rzędu.

jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczając n- ^tą pochodną przez f ⁽ⁿ⁾ dla każdego n

definiuje n- ^tą pochodną.

Co to jest zróżnicowanie?

Różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji różniczkowalnej. Operator D oznaczony przez D reprezentuje zróżnicowanie w niektórych kontekstach. Jeśli x jest zmienną niezależną, to D ≡ ^d / _dx. Operator D jest operatorem liniowym, tj. Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji f i stałej c, następujące właściwości są zachowane.

I. D (f + g) = D (f) + D (g)

II. D (cf) = cD (f)

Używając operatora D, inne reguły związane z różnicowaniem można wyrazić następująco. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (^f / _g) = ^{[D (f) g - f D (g)]} / _g ² i D (mgła) = (D (f)) og) D (g).

Na przykład, gdy F (x) = x ² sin x jest zróżnicowane względem x przy użyciu podanych reguł, odpowiedź będzie wynosić 2 x sin x + x ² cos x.

Jaka jest różnica między różnicowaniem a pochodną?

• Pochodna odnosi się do tempa zmian funkcji

• Różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji.