Rozkład dwumianowy a rozkład normalny
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych odgrywają ważną rolę w dziedzinie statystyki. Spośród tych rozkładów prawdopodobieństwa rozkład dwumianowy i rozkład normalny to dwa najczęściej występujące w prawdziwym życiu.
Co to jest rozkład dwumianowy?
Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa odpowiadający zmiennej losowej X, będącej liczbą sukcesów skończonej sekwencji niezależnych eksperymentów tak / nie, z których każdy ma prawdopodobieństwo powodzenia p. Z definicji X jasno wynika, że jest to dyskretna zmienna losowa; dlatego też rozkład dwumianowy jest również dyskretny.
Rozkład jest oznaczony jako X ~ B (n, p), gdzie n to liczba eksperymentów, a p to prawdopodobieństwo sukcesu. Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa możemy wywnioskować, że B (n, p) podąża za funkcją masy prawdopodobieństwa
. Z tego równania można dalej wywnioskować, że oczekiwana wartość X, E (X) = np oraz wariancja X, V (X) = np (1- p).
Na przykład rozważ losowy eksperyment polegający na 3-krotnym rzucie monetą. Zdefiniuj sukces jako uzyskanie H, niepowodzenie jako uzyskanie T, a zmienną losową X jako liczbę sukcesów w eksperymencie. Następnie X ~ B (3, 0,5) i funkcja masy prawdopodobieństwa X podana przez
. Dlatego prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej 2 H wynosi P (X ≥ 2) = P (X = 2 lub X = 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3 C 2 (0,5 2) (0,5 1) + 3 C 3 (0,5 3) (0,5 0) = 0,375 + 0,125 = 0,5.
Co to jest rozkład normalny?
Rozkład normalny jest ciągły rozkład prawdopodobieństwa, określone przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa
. Parametry
oznaczają średnią i odchylenie standardowe populacji będącej przedmiotem zainteresowania. Gdy
rozkład nazywa się standardowym rozkładem normalnym.
Ten rozkład nazywa się normalnym, ponieważ większość zjawisk naturalnych ma rozkład normalny. Na przykład IQ populacji ludzkiej ma rozkład normalny. Jak widać na wykresie, jest on unimodalny, symetryczny względem średniej i ma kształt dzwonu. Średnia, tryb i mediana pokrywają się. Powierzchnia pod krzywą odpowiada części populacji spełniającej dany warunek.
Porcje populacji w przedziale
,
,
w przybliżeniu 68,2%, 95,6% i 99,8%, odpowiednio.
Jaka jest różnica między rozkładem dwumianowym a rozkładem normalnym?
- Rozkład dwumianowy jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, podczas gdy rozkład normalny jest ciągły.
-
Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego wynosi
natomiast funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest
- Rozkład dwumianowy jest aproksymowany rozkładem normalnym w pewnych warunkach, ale nie odwrotnie.
