Szereg Fouriera a transformata Fouriera
Szereg Fouriera rozkłada funkcję okresową na sumę sinusów i cosinusów o różnych częstotliwościach i amplitudach. Szereg Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera i został wprowadzony przez Josepha Fouriera. Transformata Fouriera to operacja matematyczna, która przerywa sygnał na częstotliwości składowe. Oryginalny sygnał, który zmieniał się w czasie, nazywany jest reprezentacją sygnału w dziedzinie czasu. Transformata Fouriera nazywana jest reprezentacją sygnału w domenie częstotliwości, ponieważ zależy od częstotliwości. Zarówno reprezentacja sygnału w domenie częstotliwości, jak i proces użyty do przekształcenia tego sygnału w dziedzinę częstotliwości nazywane są transformatą Fouriera.
Co to jest szereg Fouriera?
Jak wspomniano wcześniej, szereg Fouriera jest rozwinięciem funkcji okresowej przy użyciu nieskończonej sumy sinusów i cosinusów. Szereg Fouriera został początkowo opracowany podczas rozwiązywania równań ciepła, ale później odkryto, że ta sama technika może być używana do rozwiązywania wielu problemów matematycznych, zwłaszcza problemów, które dotyczą liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. Obecnie seria Fouriera ma zastosowania w wielu dziedzinach, w tym w elektrotechnice, analizie drgań, akustyce, optyce, przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazu, mechanice kwantowej i ekonometrii. Szeregi Fouriera wykorzystują związki ortogonalności funkcji sinus i cosinus. Obliczanie i badanie szeregów Fouriera jest znane jako analiza harmonicznych i jest bardzo przydatne podczas pracy z dowolnymi funkcjami okresowymi,ponieważ pozwala rozbić funkcję na proste terminy, które można wykorzystać do uzyskania rozwiązania pierwotnego problemu.
Co to jest transformata Fouriera?
Transformata Fouriera definiuje zależność między sygnałem w dziedzinie czasu a jego reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Transformacja Fouriera rozkłada funkcję na funkcje oscylacyjne. Ponieważ jest to transformacja, oryginalny sygnał można uzyskać znając transformację, a zatem żadna informacja nie jest tworzona ani tracona w procesie. Badanie szeregu Fouriera faktycznie dostarcza motywacji do transformacji Fouriera. Ze względu na właściwości sinusów i cosinusów możliwe jest odzyskanie kwoty składającej się na każdą falę za pomocą całki. Transformata Fouriera ma kilka podstawowych właściwości, takich jak liniowość, translacja, modulacja, skalowanie, koniugacja, dwoistość i splot. Transformacja Fouriera jest stosowana w rozwiązywaniu równań różniczkowych, ponieważ transformata Fouriera jest ściśle związana z transformacją Laplace'a. Transformata Fouriera jest również stosowana w magnetycznym rezonansie jądrowym (NMR) i innych rodzajach spektroskopii.
Różnica między szeregiem Fouriera a transformatą Fouriera
Szereg Fouriera jest rozszerzeniem sygnału okresowego jako liniowej kombinacji sinusów i cosinusów, podczas gdy transformata Fouriera jest procesem lub funkcją używaną do konwersji sygnałów z domeny czasu do domeny częstotliwości. Szeregi Fouriera są definiowane dla sygnałów okresowych, a transformata Fouriera może być stosowana do sygnałów nieokresowych (występujących bez okresowości). Jak wspomniano powyżej, badanie szeregów Fouriera faktycznie dostarcza motywacji do transformacji Fouriera.
