Równania różniczkowe liniowe a nieliniowe
Równanie zawierające co najmniej jeden współczynnik różniczkowy lub pochodną nieznanej zmiennej jest znane jako równanie różniczkowe. Równanie różniczkowe może być liniowe lub nieliniowe. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, czym jest liniowe równanie różniczkowe, czym jest nieliniowe równanie różniczkowe oraz jaka jest różnica między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi.
Od czasu rozwoju rachunku różniczkowego w XVIII wieku przez matematyków, takich jak Newton i Leibnitz, równanie różniczkowe odegrało ważną rolę w historii matematyki. Równania różniczkowe mają duże znaczenie w matematyce ze względu na zakres ich zastosowań. Równania różniczkowe są sercem każdego modelu, który opracowujemy, aby wyjaśnić dowolny scenariusz lub wydarzenie na świecie, czy to w fizyce, inżynierii, chemii, statystyce, analizie finansowej czy biologii (lista jest nieskończona). W rzeczywistości, dopóki rachunek różniczkowy nie stał się ustaloną teorią, odpowiednie narzędzia matematyczne były niedostępne do analizy interesujących problemów natury.
Równania wynikające z określonego zastosowania rachunku różniczkowego mogą być bardzo złożone i czasami nie da się ich rozwiązać. Są jednak takie, które możemy rozwiązać, ale mogą wyglądać podobnie i zagmatwać. Dlatego w celu łatwiejszej identyfikacji równania różniczkowe są klasyfikowane według ich matematycznego zachowania. Liniowa i nieliniowa to jedna z takich kategoryzacji. Ważne jest, aby zidentyfikować różnicę między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi.
Co to jest liniowe równanie różniczkowe?
Załóżmy, że f: X → Y if (x) = y, równanie różniczkowe bez składników nieliniowych o nieznanej funkcji y i jej pochodnych jest znane jako liniowe równanie różniczkowe.
Narzuca warunek, że y nie może mieć wyższych terminów indeksowych, takich jak y 2, y 3,… i wielokrotności instrumentów pochodnych, takich jak
Nie może również zawierać terminów nieliniowych, takich jak Sin y, e y ^ -2 lub ln y. Przybiera formę,
gdzie y i g są funkcjami x. Równanie jest równaniem różniczkowym rzędu n, które jest indeksem pochodnej najwyższego rzędu.
W liniowym równaniu różniczkowym operator różniczkowy jest operatorem liniowym, a rozwiązania tworzą przestrzeń wektorową. Ze względu na liniowy charakter zbioru rozwiązań liniowa kombinacja rozwiązań jest również rozwiązaniem równania różniczkowego. Oznacza to, że jeśli y 1 i y 2 są rozwiązaniami równania różniczkowego, to C 1 y 1 + C 2 y 2 jest również rozwiązaniem.
Liniowość równania jest tylko jednym z parametrów klasyfikacji i można je dalej podzielić na jednorodne lub niejednorodne oraz zwykłe lub cząstkowe równania różniczkowe. Jeśli funkcja jest równa g = 0, to równanie jest liniowym, jednorodnym równaniem różniczkowym. Jeśli f jest funkcją dwóch lub więcej zmiennych niezależnych (f: X, T → Y) if (x, t) = y, to równanie jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym.
Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależy od typu i współczynników równania różniczkowego. Najłatwiejszy przypadek powstaje, gdy współczynniki są stałe. Klasycznym przykładem tego przypadku jest druga zasada dynamiki Newtona i jej różne zastosowania. Drugie prawo Newtona tworzy liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Co to jest nieliniowe równanie różniczkowe?
Równania zawierające wyrażenia nieliniowe są znane jako nieliniowe równania różniczkowe.
Wszystkie powyższe są nieliniowymi równaniami różniczkowymi. Nieliniowe równania różniczkowe są trudne do rozwiązania, dlatego do uzyskania prawidłowego rozwiązania wymagane jest dokładne badanie. W przypadku równań różniczkowych cząstkowych większość równań nie ma rozwiązania ogólnego. Dlatego każde równanie należy traktować niezależnie.
Równanie Naviera-Stokesa i równanie Eulera w dynamice płynów, równania pola Einsteina ogólnej teorii względności są dobrze znanymi nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Czasami zastosowanie równania Lagrange'a do układu zmiennych może skutkować układem nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.
Jaka jest różnica między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi?
• Równanie różniczkowe, które zawiera tylko składniki liniowe nieznanej lub zależnej zmiennej i jej pochodnych, jest znane jako liniowe równanie różniczkowe. Nie ma terminu ze zmienną zależną o indeksie wyższym niż 1 i nie zawiera żadnej wielokrotności jej pochodnych. Nie może mieć funkcji nieliniowych, takich jak funkcje trygonometryczne, funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne w odniesieniu do zmiennej zależnej. Każde równanie różniczkowe, które zawiera powyższe terminy, jest nieliniowym równaniem różniczkowym.
• Rozwiązania liniowych równań różniczkowych tworzą przestrzeń wektorową, a operator różniczkowy jest również operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej.
• Rozwiązania liniowych równań różniczkowych są stosunkowo łatwiejsze i istnieją rozwiązania ogólne. W przypadku równań nieliniowych w większości przypadków nie istnieje rozwiązanie ogólne, a rozwiązanie może być specyficzne dla problemu. To sprawia, że rozwiązanie jest znacznie trudniejsze niż równania liniowe.
