Integracja a różnicowanie
Całkowanie i różnicowanie to dwa podstawowe pojęcia w rachunku różniczkowym, które bada zmianę. Calculus ma szeroką gamę zastosowań w wielu dziedzinach, takich jak nauka, ekonomia lub finanse, inżynieria itp.
Różnicowanie
Różniczkowanie jest algebraiczną procedurą obliczania pochodnych. Pochodna funkcji to nachylenie lub gradient krzywej (wykresu) w dowolnym punkcie. Gradient krzywej w dowolnym punkcie jest gradientem stycznej narysowanej do tej krzywej w danym punkcie. W przypadku krzywych nieliniowych gradient krzywej może zmieniać się w różnych punktach wzdłuż osi. Dlatego w dowolnym momencie trudno jest obliczyć gradient lub nachylenie. Proces różnicowania jest przydatny przy obliczaniu gradientu krzywej w dowolnym punkcie.
Inną definicją instrumentu pochodnego jest „zmiana właściwości w stosunku do jednostkowej zmiany innej właściwości”.
Niech f (x) będzie funkcją niezależnej zmiennej x. Jeśli mała zmiana (Δx) jest spowodowana w zmiennej niezależnej x, odpowiednia zmiana Δf (x) jest wywoływana w funkcji f (x); wtedy stosunek Δf (x) / Δx jest miarą szybkości zmiany f (x) względem x. Wartość graniczna tego stosunku, ponieważ Δx dąży do zera, lim Δx → 0 (f (x) / Δx) nazywana jest pierwszą pochodną funkcji f (x) względem x; innymi słowy, chwilowa zmiana f (x) w danym punkcie x.
Integracja
Całkowanie to proces obliczania albo całki oznaczonej, albo całki nieoznaczonej. Dla funkcji rzeczywistej f (x) i przedziału zamkniętego [a, b] na prostej rzeczywistej całkę oznaczoną a ∫ b f (x) definiuje się jako obszar między wykresem funkcji, osią poziomą i dwie pionowe linie w końcowych punktach interwału. Gdy nie jest podany określony przedział, nazywa się go całką nieoznaczoną. Całkę oznaczoną można obliczyć za pomocą anty-pochodnych.
Jaka jest różnica między integracją a różnicowaniem?
Różnica między całką a różnicowaniem jest czymś w rodzaju różnicy między „podniesieniem do kwadratu” a „wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego”. Jeśli podniesiemy do kwadratu liczbę dodatnią, a następnie weźmiemy pierwiastek kwadratowy z wyniku, dodatnia wartość pierwiastka kwadratowego będzie liczbą podniesioną do kwadratu. Podobnie, jeśli zastosujesz całkowanie do wyniku, który otrzymałeś przez różniczkowanie funkcji ciągłej f (x), doprowadzi to do pierwotnej funkcji i odwrotnie.
Załóżmy na przykład, F (x), jest całką funkcji f (x) = x zatem, F (x) = ∫f (x) dx = (x 2 /2) + C, gdzie C jest dowolną stałą. Rozróżniając F (x) względem x otrzymujemy, F '(x) = dF (x) / dx = (2x / 2) + 0 = x, zatem pochodna F (x) jest równa f (x).
streszczenie
- Różnicowanie oblicza nachylenie krzywej, a całkowanie oblicza obszar pod krzywą.
- Integracja jest odwrotnym procesem różnicowania i odwrotnie.
