Różnica Między Integracją A Sumowaniem

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 08:41

Integracja a sumowanie

W matematyce powyżej liceum integracja i sumowanie są często spotykane w operacjach matematycznych. Pozornie są używane jako różne narzędzia iw różnych sytuacjach, ale łączy ich bardzo bliski związek.

Więcej o podsumowaniu

Sumowanie to operacja dodawania sekwencji liczb, a operacja jest często oznaczana grecką literą dużej sigma Σ. Służy do skrócenia sumowania i równa sumie / sumie sekwencji. Są często używane do reprezentowania serii, które zasadniczo są sumowanymi nieskończonymi sekwencjami. Mogą być również używane do wskazywania sumy wektorów, macierzy lub wielomianów.

Sumowanie jest zwykle wykonywane dla zakresu wartości, które można przedstawić za pomocą ogólnego terminu, takiego jak szereg, który ma wspólny termin. Punkt początkowy i punkt końcowy sumowania nazywane są odpowiednio dolną granicą i górną granicą sumowania.

Na przykład suma ciągu a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n to a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, którą można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumowania jako ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; nazywany jest indeksem sumowania.

Do sumowania na podstawie aplikacji stosuje się wiele odmian. W niektórych przypadkach górną granicę i dolną granicę można podać jako przedział lub zakres, na przykład ∑ _1≤i≤100 a _i oraz ∑ i _{1,1 [1,100]} a _i. Lub może być podany jako zbiór liczb, takich jak ∑ _i∈P a _i, gdzie P jest zbiorem zdefiniowanym.

W niektórych przypadkach można użyć dwóch lub więcej znaków sigma, ale można je uogólnić w następujący sposób; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Ponadto sumowanie podlega wielu regułom algebraicznym. Ponieważ operacja osadzona jest dodawaniem, wiele wspólnych reguł algebry można zastosować do samych sum i do poszczególnych terminów przedstawionych przez sumowanie.

Więcej o integracji

Integrację definiuje się jako odwrotny proces różnicowania. Ale w ujęciu geometrycznym można go również uznać za obszar objęty krzywą funkcji i osią. Dlatego obliczenie pola daje wartość całki oznaczonej, jak pokazano na wykresie.

Źródło obrazu:

Wartość całki określonej jest w rzeczywistości sumą małych pasków wewnątrz krzywej i osi. Pole powierzchni każdego paska to wysokość × szerokość w punkcie na rozpatrywanej osi. Szerokość to wartość, którą możemy wybrać, powiedzmy Δx. Wysokość jest w przybliżeniu wartością funkcji w rozważanym punkcie, powiedzmy f (x _i). Z diagramu widać, że im mniejsze paski, tym lepiej pasują do wewnątrz ograniczonego obszaru, stąd lepsze przybliżenie wartości.

Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, całka oznaczona I między punktami a i b (tj. W przedziale [a, b], gdzie a1) Δx + f (x ₂) Δx + ⋯ + f (x _n) Δx, gdzie n to liczba pasków (n = (ba) / Δx). To sumowanie powierzchni można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumowania jako I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) Δx. Ponieważ przybliżenie jest lepsze, gdy Δx jest mniejsze, możemy obliczyć wartość, gdy Δx → 0. Dlatego uzasadnione jest stwierdzenie, że I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Uogólniając powyższą koncepcję, możemy wybrać Δx na podstawie rozważanego przedziału indeksowanego przez i (wybierając szerokość obszaru na podstawie położenia). Wtedy dostajemy

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Jest to znane jako całka Reimanna funkcji f (x) w przedziale [a, b]. W tym przypadku a i b są znane jako górna granica i dolna granica całki. Całka Reimanna jest podstawową postacią wszystkich metod całkowania.

W istocie całkowanie jest sumowaniem powierzchni, gdy szerokość prostokąta jest nieskończenie mała.

Jaka jest różnica między integracją a sumowaniem?

• Sumowanie to sumowanie ciągu liczb. Zwykle sumowanie jest podane w tej postaci ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, gdy wyrazy w sekwencji mają wzór i można je wyrazić za pomocą terminu ogólnego.

• Całkowanie to w zasadzie obszar ograniczony krzywą funkcji, osią oraz górną i dolną granicą. Ten obszar można podać jako sumę znacznie mniejszych obszarów zawartych w ograniczonym obszarze.

• Sumowanie obejmuje dyskretne wartości z górną i dolną granicą, podczas gdy całkowanie obejmuje wartości ciągłe.

• Integrację można interpretować jako specjalną formę sumowania.

• W numerycznych metodach obliczeniowych całkowanie jest zawsze wykonywane jako sumowanie.