Kardynał vs porządkowy
W naszym życiu codziennym używanie liczb może przybierać różne formy w różnych sytuacjach. Na przykład, kiedy liczymy, aby obliczyć rozmiar zbioru obiektów, liczymy je jako jeden, dwa, trzy i tak dalej. Kiedy chcemy coś policzyć, aby określić położenie obiektów, liczymy je jako pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej. W pierwszej formie liczenia o liczbach mówi się, że są to liczby główne. W drugiej formie liczenia liczby są traktowane jako liczby porządkowe. W tym kontekście pojęcia kardynalne i porządkowe są całkowicie kwestią językoznawstwa; kardynalny i porządkowy to przymiotniki.
Jednak rozszerzenie tego pojęcia na zbiory w matematyce ujawnia znacznie głębszą i szerszą perspektywę i nie może być traktowane w prosty sposób. W tym artykule postaramy się zrozumieć podstawowe pojęcia liczb kardynalnych i porządkowych w matematyce.
Formalne definicje liczb głównych i porządkowych są zawarte w teorii mnogości. Definicje są zawiłe i aby je zrozumieć w sposób doskonały, potrzebna jest podstawowa wiedza z teorii mnogości. Dlatego zajmiemy się kilkoma przykładami, aby zrozumieć pojęcia heurystycznie.
Rozważ dwa zestawy {1,3,6,4,5,2} i {autobus, samochód, prom, pociąg, samolot, helikopter}. Każdy zestaw zawiera zestaw elementów, a jeśli policzymy liczbę elementów, jest oczywiste, że każdy ma taką samą liczbę elementów, czyli 6. Dochodząc do tego wniosku, wzięliśmy rozmiar jednego zestawu i porównaliśmy go z innym za pomocą numer. Taka liczba nazywana jest liczbą kardynalną. Dlatego możemy powiedzieć, że liczba kardynalna to liczba, której możemy użyć do porównania wielkości zbiorów skończonych.
Ponownie pierwszy zestaw liczb można uporządkować w porządku rosnącym, biorąc pod uwagę rozmiar każdego elementu i porównując je. W procesie porządkowania liczby są traktowane jako kardynałowie. Podobnie, zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych można uporządkować w zestawie; tj. {0, 1, 2, 3, 4,…..}. Ale w tym przypadku rozmiar zbioru staje się nieskończony i podanie go w postaci liczb porządkowych nie jest możliwe. Bez względu na to, jak dużą liczbę wybierzesz, aby określić rozmiar zbioru, nadal pozostaną liczby z wybranego zestawu, które są nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Dlatego matematycy określają tego nieskończonego kardynała (który jest pierwszym) jako Aleph-0, zapisany jako א (pierwsza litera alfabetu hebrajskiego). Formalnie liczba porządkowa jest typem zamówienia dobrze uporządkowanego zbioru. Dlatego liczba porządkowa zbiorów skończonych może być określona przez liczby główne, ale w przypadku zbiorów nieskończonych liczba porządkowa jest określona przez liczby pozaskończone, takie jak Aleph-0.
Jaka jest różnica między liczebnikami kardynalnymi i porządkowymi?
• Liczba kardynalna to liczba, której można użyć do zliczenia lub określenia rozmiaru skończonego uporządkowanego zbioru. Wszystkie liczebniki główne są liczbami porządkowymi.
• Liczby porządkowe to liczby używane do określenia rozmiaru skończonych i nieskończonych uporządkowanych zbiorów. Rozmiar skończonych uporządkowanych zbiorów jest określony za pomocą zwykłych hindusko-arabskich liczb algebraicznych, a nieskończony rozmiar zbioru jest określony przez liczby nieskończone.
