Różnica Między Szeregami Potęgowymi A Szeregami Taylora

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-09 22:11

Seria Power vs Seria Taylor

W matematyce ciąg rzeczywisty to uporządkowana lista liczb rzeczywistych. Formalnie jest to funkcja ze zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli _n jest n- ^tym wyrazem ciągu, oznaczymy go przez a ₁, a ₂,…, a _n, …. Rozważmy na przykład ciąg 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, … Można go oznaczyć jako {1 / n}.

Istnieje możliwość zdefiniowania serii za pomocą sekwencji. Szereg to suma składników ciągu. Dlatego każda sekwencja ma przypisaną sekwencję i odwrotnie. Jeśli {a _n} jest rozważaną sekwencją, to szereg utworzony przez tę sekwencję można przedstawić jako:

Tak więc, w powyższym przykładzie, związane seria 1 + ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Jak sugerują nazwy, szeregi potęgowe są specjalnym typem szeregów i są szeroko stosowane w analizie numerycznej i związanym z nią modelowaniu matematycznym. Seria Taylora to specjalna seria potęgowa, która zapewnia alternatywny i łatwy w obsłudze sposób przedstawiania dobrze znanych funkcji.

Co to jest seria Power?

Seria potęg to seria postaci

który jest zbieżny (prawdopodobnie) w pewnym przedziale o środku w c. Współczynniki a _n mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi i są niezależne od x; tj. zmienna fikcyjna.

Na przykład, ustawiając _n = 1 dla każdego n, ic = 0, otrzymujemy szereg potęg 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Łatwo zauważyć, że gdy x ε (-1,1), ten szereg potęg zbiega się do 1 / (1-x).

Szereg potęgowy jest zbieżny, gdy x = c. Inne wartości x, dla których zbiega się szereg potęg, zawsze będą miały postać otwartego przedziału o środku w c. Oznacza to, że będzie wartość 0≤ R ≤ ∞ taka, że dla każdego x spełniającego | xc | ≤ R, szereg potęg jest zbieżny i dla każdego x spełniającego | xc |> R, szereg potęgowy jest rozbieżny. Ta wartość R nazywana jest promieniem zbieżności szeregu potęg (R może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą lub dodatnią nieskończoność).

Szeregi potęg można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić zgodnie z następującymi zasadami. Rozważ dwie serie potęg:

Następnie,

tj. podobne terminy są dodawane lub odejmowane razem. Możliwe jest również pomnożenie i podzielenie dwóch szeregów potęg za pomocą tożsamości,

Co to jest seria Taylora?

Szereg Taylora jest zdefiniowany dla funkcji f (x), która jest nieskończenie różniczkowalna na przedziale. Załóżmy, że f (x) jest różniczkowalna na przedziale o środku w c. Następnie szereg potęg podany przez

nazywa się rozwinięciem szeregu Taylora funkcji f (x) o c. (Tutaj f ⁽ⁿ⁾ (c) oznacza n- ^tą pochodną przy x = c). W analizie numerycznej skończona liczba terminów w tym nieskończonym rozwinięciu jest używana do obliczania wartości w punktach, w których szereg jest zbieżny z pierwotną funkcją.

Mówi się, że funkcja f (x) jest analityczna w przedziale (a, b), jeśli dla każdego x ε (a, b) szereg Taylora funkcji f (x) jest zbieżny do funkcji f (x). Na przykład 1 / (1-x) jest analityczne na (-1,1), ponieważ jego rozwinięcie Taylora 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… zbiega się do funkcji w tym przedziale, a e ^x jest analityczny wszędzie, ponieważ szereg Taylora e ^x zbiega się do e ^x dla każdej liczby rzeczywistej x.

Jaka jest różnica między serią Power a serią Taylora?

1. Szeregi Taylora to specjalna klasa szeregów potęgowych, zdefiniowana tylko dla funkcji, które są nieskończenie różniczkowalne na pewnym otwartym przedziale.

2. Szeregi Taylora mają specjalną postać

podczas gdy szereg potęgowy może być dowolnym szeregiem postaci