Transpozycja vs koniugat Transpozycja
Transpozycja macierzy A może być zidentyfikowana jako macierz otrzymana przez przestawienie kolumn na wiersze lub wiersze na kolumny. W rezultacie indeksy każdego elementu są zamieniane. Bardziej formalnie, transpozycja macierzy A jest definiowana jako
gdzie
W macierzy transpozycji przekątna pozostaje niezmieniona. Ale wszystkie inne elementy są obracane wokół przekątnej. Również rozmiar macierzy zmienia się od m × n do n × m.
Transpozycja ma kilka ważnych właściwości i pozwala na łatwiejsze manipulowanie macierzami. Ponadto niektóre ważne macierze transpozycji są zdefiniowane na podstawie ich cech. Jeśli macierz jest równa swojej transpozycji, to macierz jest symetryczna. Jeśli macierz jest równa swojej wartości ujemnej transpozycji, to macierz jest skośna symetryczna.
Koniugat transponowany macierzy jest transpozycją macierzy z elementami zastąpionymi jej złożonym koniugatem. Oznacza to, że złożony koniugat (A *) jest zdefiniowany jako transpozycja złożonego koniugatu macierzy A.
A * = (Ā) T; Szczegółowo,
gdzie
i ā ji ε C.
Jest również znany jako transpozycja hermitowska i koniugat hermitowski. Jeśli koniugat transponowany jest równy samej macierzy, to macierz nazywana jest macierzą hermitowską. Jeśli transpozycja koniugatu jest równa wartości ujemnej macierzy, jest to skośna macierz hermitowska. A jeśli odwrotność macierzy jest równa koniugatowi zespolonemu, macierz jest unitarna.
Podobnie, wszystkie specjalne sprzężone macierze złożone mają również specjalne właściwości, które można wykorzystać do łatwego matematycznego manipulowania nimi. Transpozycja koniugatu jest szeroko stosowana w mechanice kwantowej i jej odpowiednich dziedzinach.
Jaka jest różnica między transpozą a koniugatem transpozycją?
• Transpozycję macierzy uzyskuje się przez przestawienie kolumn w wiersze lub wierszy w kolumny. Złożony koniugat macierzy uzyskuje się przez zastąpienie każdego elementu jego złożonym koniugatem (tj. X + iy ⇛ x-iy lub odwrotnie). Transpozycję koniugatu uzyskuje się wykonując obie operacje na macierzy.
• Dlatego koniugat transponowany jest po prostu macierzą transpozycji ze złożonymi koniugatami jako elementami.
