Całka Riemanna a całka Lebesgue'a
Integracja jest głównym tematem w rachunku różniczkowym. W pewnym sensie integrację można postrzegać jako odwrotny proces różnicowania. Podczas modelowania rzeczywistych problemów łatwo jest pisać wyrażenia obejmujące pochodne. W takiej sytuacji operacja całkowania jest wymagana, aby znaleźć funkcję, która dała daną pochodną.
Z innego punktu widzenia całkowanie jest procesem, który sumuje iloczyn funkcji ƒ (x) i δx, gdzie δx ma tendencję do bycia pewną granicą. Dlatego używamy symbolu integracji jako ∫. Symbol ∫ jest w istocie tym, co otrzymujemy, rozciągając literę s, aby odnosić się do sumy.
Riemann Integral
Rozważmy funkcję y = ƒ (x). Całkę y między a i b, gdzie a i b należą do zbioru x, zapisujemy jako b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Nazywa się to całką oznaczoną pojedynczej wartości i funkcji ciągłej y = ƒ (x) między a i b. Daje to obszar pod krzywą między a i b. Nazywa się to również całką Riemanna. Całka Riemanna została stworzona przez Bernharda Riemanna. Całka Riemanna funkcji ciągłej opiera się na mierze Jordana, dlatego jest również definiowana jako granica sum Riemanna funkcji. Dla funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na przedziale zamkniętym całka Riemanna funkcji w odniesieniu do podziału x 1, x 2,…, x nzdefiniowana na przedziale [a, b] it 1, t 2,…, t n, gdzie x i ≤ t i ≤ x i + 1 dla każdego i ε {1, 2,…, n}, zdefiniowana jest suma Riemanna jako Σ i = o do n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Całka Lebesgue'a
Lebesgue to inny typ całki, który obejmuje szeroką gamę przypadków niż całka Riemanna. Całka lebesgue'a została wprowadzona przez Henri Lebesgue'a w 1902 roku. Całkę Legesgue'a można uznać za uogólnienie całkowania Riemanna.
Dlaczego musimy studiować inną całkę?
Rozważmy funkcję charakterystyczną ƒ A (x) = { 0 jeśli, x nie ε A 1 jeśli, x ε A na zbiorze A. Wtedy skończona liniowa kombinacja funkcji charakterystycznych, która jest zdefiniowana jako F (x) = Σ a i ƒ E i (x) nazywamy funkcją prostą, jeśli E i jest mierzalne dla każdego i. Całka Lebesgue'a F (x) nad E jest oznaczona przez E ∫ ƒ (x) dx. Funkcja F (x) nie jest integrowalna Riemanna. Dlatego całka Lebesgue'a jest zmienioną całką Riemanna, która ma pewne ograniczenia co do funkcji, które mają być całkowane.
Jaka jest różnica między Riemann Integral i Lebesgue Integral?
· Całka Lebesgue'a jest uogólnioną postacią całki Riemanna.
· Całka Lebesgue'a dopuszcza policzalną nieskończoność nieciągłości, podczas gdy całka Riemanna dopuszcza skończoną liczbę nieciągłości.
